Linear Iterated Function Systems

Many fractals can be described with iterated function systems, or IFSs. We look into affine linear IFS which are denoted as rows of numbers in the form

a    b    c    d    e    f

Each row of which describes a transformation

(x,y) -> (ax+by+e, cx+dy+f).

Enter your IFS in the textarea below and hit , or just pick one of these: .
You can use '#' to deactivate a line. Pause calculation. Colors the transformations. Pressure

This page draws a lot of ideas from Paul Bourke, especially this page, details however vary.

This page is hosted on Badge(r)s unrelated Maths Pages.

0.5 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0.5 0.5

0.0 0.10 0.0 0.40 -0.002 0.0 0.7 0.135 -0.235 0.7 -0.2 0.01 0.121328 -0.120 0.230 0.32318 0.01 0.01 0.121328 0.34330 0.240 0.218 0.0 0.01

0.5 0.0 0.0 0.5 -4.5 0.002 0.5 0.0 0.0 0.5 4.6 0.002 0.32139 0.38302 -0.38302 0.32139 1.09 9.5

0.0 -0.5 0.85 0.0 -1.732366 3.366182 0.3 0.0 0.0 0.3 -0.027891 5.014877 0.0 0.5 -0.85 0.0 1.620804 3.310401

0.5 0 0 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5

0.156100 -0.878342 -0.820365 -0.202815 1.809888 7.967409 -0.036111 0.444444 0.210185 0.037037 2.071081 8.330552

0.5 0.5 -0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 -0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5

0.333333 0.0 0.0 0.333333 0.000000 0.0 0.333333 0.0 0.0 0.333333 0.666667 0.0

0.5 0.0 0.0 0.5 0 0 0.5 0.0 0.0 0.5 3 0 0.4 0.0 0.0 0.4 0 2 0.5 0.0 0.0 0.5 3 2

0 0.053 -0.429 0 -7.083 5.43 0.143 0 0 -0.053 -5.619 8.513 0.143 0 0 0.083 -5.619 2.057 0 0.053 0.429 0 -3.952 5.43 0.119 0 0 0.053 -2.555 4.536 -0.0123806 -0.0649723 0.423819 0.00189797 -1.226 5.235 0.0852291 0.0506328 0.420449 0.0156626 -0.421 4.569 0.104432 0.00529117 0.0570516 0.0527352 0.976 8.113 -0.00814186 -0.0417935 0.423922 0.00415972 1.934 5.37 0.093 0 0 0.053 0.861 4.536 0 0.053 -0.429 0 2.447 5.43 0.119 0 0 -0.053 3.363 8.513 0.119 0 0 0.053 3.363 1.487 0 0.053 0.429 0 3.972 4.569 0.123998 -0.00183957 0.000691208 0.0629731 6.275 7.716 0 0.053 0.167 0 5.215 6.483 0.071 0 0 0.053 6.279 5.298 0 -0.053 -0.238 0 6.805 3.714 -0.121 0 0 0.053 5.941 1.487

0.0 -0.5 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.5 -0.5 0.0 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 0.25 0.5

0.33333 0.33333 -0.33333 0.33333 0.00000 0.00000 0.47140 0.00000 0.00000 0.47140 0.33333 -0.33333 0.47140 0.00000 0.00000 0.47140 0.66667 0.00000

0.3570 0.0000 0.0000 0.3570 -0.0050 -0.0060 0.3100 -0.1129 0.1129 0.3100 0.0500 0.0050 0.4350 0.0152 -0.0152 0.4350 -0.0300 0.0358 0.1680 -0.2857 0.2857 0.1680 -0.0400 0.0180 0.2514 0.2514 -0.2514 0.2514 0.0340 0.0610 0.3457 0.1995 -0.1995 0.3457 -0.0090 0.0790 0.2765 -0.2765 0.2765 0.2765 -0.0400 0.0900 0.1465 -0.3000 0.3000 0.1465 -0.0650 0.0490 0.3453 0.0121 -0.0121 0.3453 0.0250 0.0308

0.25000 0.00000 0.00000 0.25000 0.00000 0.00000 0.25000 -0.25000 0.25000 0.25000 0.25000 0.00000 0.50000 0.50000 -0.50000 0.50000 0.50000 0.25000 0.50000 0.50000 -0.50000 0.50000 0.25000 0.00000 0.25000 -0.25000 0.25000 0.25000 0.50000 -0.25000 0.25000 0.00000 0.00000 0.25000 0.75000 0.00000

-0.16666667 -0.1666667 0.16666667 -0.1666667 0.0000000 0.000000 0.83333333 0.2500000 -0.25000000 0.8333333 -0.1666667 -0.166667 0.33333333 -0.0833333 0.08333333 0.3333333 0.0833333 0.666667

0.307692 -0.531469 -0.461538 -0.293706 5.401953 8.655175 0.307692 -0.076923 0.153846 -0.447552 -1.295248 4.152990 0.000000 0.545455 0.692308 -0.195804 -4.893637 7.269794

0.35355 0.35355 -0.35355 0.35355 -4.4 0.002 0.383 0.383 -0.32135 0.32135 4.8 0.002 0.32139 0.38302 -0.38302 0.32139 1.9 7.5

0.25 -0.25 0.25 0.25 0.0000 0.0 0.50 0.50 -0.50 0.5 0.25 0.25 0.25 -0.25 0.25 0.25 0.75 0.25

0.396 0.3111 -0.396 0.3111 3.7128 2.6788 -0.2507 -0.4673 0.2988 -0.3921 -3.2041 3.2104 0.6435 -0.2240 0.3 0.4803 2.8256 2.8282

0.4578 -0.491 0.61 0.911 1.479 0.692 0.56 0.3 -0.5 0.9 0.64 0.5

0.696970 -0.481061 -0.393939 -0.662879 2.147003 10.310288 0.090909 -0.443182 0.515152 -0.094697 4.286558 2.925762

.255 0 0 .255 .3726 .6714 .255 0 0 .255 .1146 .2232 .255 0 0 .255 .6306 .2232 .370 -.642 .642 .370 .6356 -.0061

0 -.5 .5 0 .5 0 0 .5 -.5 0 .5 .5 .5 0 0 .5 .25 .5

0.1767 -0.7071 0.7071 0.1767 0.0000 0.0000 -0.1767 0.7071 -0.7071 -0.1767 0.0000 0.0000 0.2500 0.0000 0.0000 0.2500 0.5000 0.0000 0.2500 0.0000 0.0000 0.2500 0.7500 0.0000

0.1767 -0.7071 0.7071 0.1767 0.0000 0.0000 -0.1767 0.7071 -0.7071 -0.1767 0.0000 0.0000 0.5000 0.0000 0.0000 0.5000 0.5000 0.0000

.693 .400 -.400 .693 0 0 .346 -.200 .200 .346 .693 .400

0.333333 0 0 0.5 0 0 0.333333 0 0 0.5 0.333333 0 0.333333 0 0 0.5 0.666667 0 0.333333 0 0 0.5 0.666667 0.5 -0.333333 0 0 -0.5 1 0.5 -0.333333 0 0 -0.5 0.666667 0.5

0.8517 -0.3736 0.3736 0.7517 0.0000 0.000 0.3000 0.1000 -0.1000 0.2000 1.0000 -0.364 0.3000 0.1000 -0.1000 0.2000 -0.3640 1.000 0.3000 0.1000 -0.0000 0.2000 -0.7280 -0.728

0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 -0.5 0.5 -0.5 -0.5 1 0

0.824074 0.281482 -0.212346 0.864198 -1.882290 -0.110607 0.088272 0.520988 -0.463889 -0.377778 0.785360 8.095795

0.824074 0.581482 -0.212346 0.864198 1.882290 0.110607 0.088272 0.420988 -0.463889 -0.377778 0.785360 8.095795

0.25 -0.433 0.433 0.25 0 0 0.25 -0.433 0.433 0.25 0.25 0 0.25 -0.433 0.433 0.25 0.5 0 0.25 -0.433 0.433 0.25 0.75 0

0.00 0.00 0.00 0.16 0.0 0.00 0.85 0.04 -0.04 0.85 0.0 1.60 0.20 -0.26 0.23 0.22 0.0 1.60 -0.15 0.28 0.26 0.24 0.0 0.44

0.0 0.0 0.0 0.22 0.0 0.0 0.8 0.135 -0.235 0.8 0.0 1.4 0.15 -0.120 0.130 0.12 0.0 1.0 0.15 0.200 0.340 0.12 0.0 0.5

-0.632407 -0.3 -0.545370 0.659259 .53 4.282321 -0.036111 0.444444 0.210185 0.037037 .52 4.330552

0.0 0.0 0.0 0.16 0.0 0.0 0.2 -0.26 0.23 0.22 0.0 1.6 -0.15 0.28 0.26 0.24 0.0 0.44 0.75 0.04 -0.04 0.85 0.0 1.6

0.01 -0.41 0.39 0.00 -0.28 -0.1850 0.70 0.33 -0.35 0.70 0.185 0.015 0.00 0.175 0.013 0.46 -0.095 -0.285

0.0 -0.5 0.5 0.0 .25 -.25 0.5 0.0 0.0 0.5 .25 .25 0.0 0.5 -0.5 0.0 .75 .25

0.5 0.0 0.0 0.5 -2.563477 -0.000003 0.5 0.0 0.0 0.5 2.436544 -0.000003 0.0 -0.5 0.5 0.0 4.873085 7.563492

.333 0 0 .333 .333 .666 0 .333 1 0 .666 0 0 -.333 1 0 .333 0

0.2 -0.5 0.5 -0.5 .9 .5 0.8 0.5 -0.5 0.5 .9 .5

-0.632407 -0.614815 -0.545370 0.659259 3.840822 1.282321 -0.036111 0.444444 0.210185 0.037037 2.071081 8.330552

0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.0000000 0.0000000 0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.8333333 0.0000000 0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.0000000 0.8333333 0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.4166667 0.4166667 0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.8333333 0.8333333

-0.16666667 -0.1666667 0.16666667 -0.1666667 0.0000000 0.000000 0.83333333 0.2500000 -0.25000000 0.8333333 -0.1666667 -0.166667 0.33333333 -0.0833333 0.08333333 0.3333333 0.0833333 0.666667 0.6 0.0 0.0 0.6 1.0 1.0

0 .577 -.577 0 .0951 .5893 0 .577 -.577 0 .4413 .7893 0 .577 -.577 0 .0952 .9893

0.33333 -0.88888 0.6 -0.4 9 -1 -0.7777 0.22222 0.1 0.5 -1 15

0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.0000 0.0000 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.3333 0.0000 0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.5000 0.2887 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.6667 0.0000

0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.6667 0.0000 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.3333 0.3333 0.0000 -0.3333 0.3333 0.0000 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 -0.3333 0.0000 0.6667 0.3333

0.307692 -0.000000 0.000000 0.294118 4.119164 1.604278 0.192308 -0.205882 0.653846 0.088235 -0.688840 5.978916 0.192308 0.205882 -0.653846 0.088235 0.668580 5.962514 0.307692 -0.000000 0.000000 0.294118 -4.136530 1.604278 0.384615 -0.000000 0.000000 -0.294118 -0.007718 2.941176

0.555 0.000 0.000 0.555 0.000 0.000 0.550 0.000 0.000 0.550 0.000 0.185 0.353 0.281 -0.295 0.336 0.068 0.112 0.353 -0.281 0.295 0.336 -0.068 0.112

0.40 0.00 0.00 0.40 0.00 0.00 0.55 0.00 0.00 0.55 0.00 0.20 0.31 0.31 -0.31 0.31 0.10 0.10 0.31 -0.31 0.31 0.31 -0.10 0.10

0.3333 0.0 0.0 0.3333 0.0 0.0 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.3333 0.0 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.0833 0.0 0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.3333 0.0 0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.0833 0.0 0.3333 0.0 0.0 0.3333 0.6667 0.0

0.14 0.01 0.00 0.51 -0.08 -1.31 0.43 0.52 -0.45 0.50 1.49 -0.75 0.45 -0.49 0.47 0.47 -1.62 -0.74 0.49 0.00 0.00 0.51 0.02 1.62

0.0000 0.2439 0.0000 0.3053 0.0000 0.0000 0.7248 0.0337 -0.0253 0.7426 0.2060 0.2538 0.1583 -0.1297 0.3550 0.3676 0.1383 0.1750 0.3386 0.3694 0.2227 -0.0756 0.0670 0.0826

0.25 -0.25 0.25 0.25 0 0 0.25 0.25 -0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 -0.25 0.25 0.25 0.5 0 0.25 0.25 -0.25 0.25 0.75 0.25

0.2020 -0.8050 -0.6890 -0.3420 -0.3730 -0.6530 0.1380 0.6650 -0.5020 -0.2220 0.6600 -0.2700

0.333333 0 0 0.333333 0.000000 0.000000 0.333333 0 0 0.333333 0.333333 0.000000 0.333333 0 0 0.333333 0.666667 0.000000 0.333333 0 0 0.333333 0.000000 0.333333 0.333333 0 0 0.333333 0.000000 0.666667 0.333333 0 0 0.333333 0.333333 0.666667 0.333333 0 0 0.333333 0.666667 0.333333 0.333333 0 0 0.333333 0.666667 0.666667

0.25 0.00 0.00 0.25 0.00 0.00 0.00 -0.25 0.25 0.00 0.25 0.00 0.25 0.00 0.00 0.25 0.25 0.25 0.00 0.25 -0.25 0.00 0.50 0.25 0.00 0.25 -0.25 0.00 0.50 0.00 0.25 0.00 0.00 0.25 0.50 -0.25 0.00 -0.25 0.25 0.00 0.75 -0.25 0.25 0.00 0.00 0.25 0.75 0.00

0.3 0.2 -0.8 0.5 0.008 0.5 0.50 0.23 -0.56 0.9 0.002 0.5

.382 0 0 .382 .3072 .6190 .382 0 0 .382 .6033 .4044 .382 0 0 .382 .0139 .4044 .382 0 0 .382 .1253 .0595 .382 0 0 .382 .4920 .0595

0.307692 -0.531469 -0.461538 -0.293706 -5.401953 8.655175 0.307692 -0.076923 0.153846 -0.447552 -1.295248 -4.152990 0.000000 0.545455 0.692308 -0.195804 4.893637 7.269794

0.2 0 0 0.3 0.2 0.4 -0.1414 .21213 0.1414 0.21213 -0.3535 -0.3535 0.383 0.3213 -0.3213 0.383 0 0 0.1928 0.2298 -0.2298 0.1928 0.5823 -0.32067 -0.7 0.0 0.0 -0.4 -0.1 -0.8

0.177 -0.177 0.177 0.177 0.00 0.00 0.354 -0.354 0.354 0.354 0.50 0.00 0.177 -0.177 0.177 0.177 0.75 0.75 0.354 -0.354 0.354 0.354 0.00 0.50

0.35355 -0.35355 0.35355 0.35355 0.00000 0.00000 0.35355 -0.35355 0.35355 0.35355 0.50000 0.50000

0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.0000 0.0000 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.1667 -0.8660 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.3333 0.0000 0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.5000 0.8660 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.6667 0.0000

0.2500 0.2500 -0.2500 0.2500 0.0000 0.0000 0.5000 -0.5000 0.5000 0.5000 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 -0.2500 0.2500 0.7500 -0.2500

0.2500 -0.2500 0.2500 0.2500 0.0000 0.0000 0.5000 0.5000 -0.5000 0.5000 0.2500 0.2500 0.2500 -0.2500 0.2500 0.2500 0.7500 -0.2500

0.1 0.01 -0.0001 0.0005 0.0 0.0 0.85 0.0 0.0 0.85 0.0 1.20 0.2232 0.1285 0.045 0.2413 0.4432 0.50 0.1865 0.2563 0.012 0.0514 -0.50 0.24

0.5 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 -0.5 0.5 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5

0.50 0.10 0.5 0.40 -0.002 0.0 0.7 0.135 -0.235 0.7 -0.2 0.1 -0.5 -0.10 -0.5 -0.40 0.002 0.002

0.5 0 0 0.5 0.00 0.000 0.5 0 0 0.5 0.50 0.000 0.5 0 0 0.5 0.25 0.433

.5 0 0 .5 0 0 .5 0 0 .5 .5 0 .5 0 0 -.5 0.125 1

0.3820 0.0000 0.0000 0.3820 0.3090 0.5700 0.1180 -0.3633 0.3633 0.1180 0.3633 0.3306 0.1180 0.3633 -0.3633 0.1180 0.5187 0.6940 -0.3090 -0.2245 0.2245 -0.3090 0.6070 0.3090 -0.3090 0.2245 -0.2245 -0.3090 0.7016 0.5335 0.3820 0.0000 0.0000 -0.3820 0.3090 0.6770

-0.5 0.000 0.000 0.50 0.5000 0.0000 -0.5 0.000 0.000 0.50 1.0000 0.0000 0.5 0.000 0.000 -0.50 0.1685 0.2919 -0.25 -0.433 0.433 -0.25 0.9171 0.1436

0.787879 -0.424242 0.242424 0.859848 1.758647 1.408065 -0.121212 0.257576 0.090909 0.053030 -3.721654 1.377236 0.252525 -0.136364 0.252525 0.181818 3.086107 1.568035

0.7517 -0.2736 0.2736 0.7517 0.0000 0.000 0.2000 0.0000 0.0000 0.2000 1.0000 -0.364 0.2000 0.0000 0.0000 0.2000 -0.3640 1.000 0.2000 0.0000 0.0000 0.2000 -0.7280 -0.728

0.787879 -0.424242 0.242424 0.859848 1.758647 1.408065 -0.121212 0.257576 0.151515 0.053030 -6.721654 1.377236 0.181818 -0.136364 0.090909 0.181818 6.086107 1.568035

0.745455 -0.459091 0.406061 0.887121 1.460279 0.691072 -0.424242 -0.065152 -0.175758 0.218182 3.809567 6.741476

.5 0 0 .5 0 0 .5 0 0 .5 .5 0 .5 0 0 .5 .5 .5 .5 0 0 .5 0 .5

0.005 0.000 0.000 0.500 0.0 0.0 0.414 -0.414 0.414 0.414 0.0 0.5 0.414 0.414 -0.414 0.414 0.0 0.5

0.745455 -0.459091 0.406061 0.887121 1.460279 0.691072 -0.424242 -0.065152 -0.175758 -0.218182 3.809567 6.741476

0.333333 0 0 0.333333 0.000000 0.000000 0.333333 0 0 0.333333 0.333333 -0.010000 0.333333 0 0 0.333333 0.666667 0.000000 0.333333 0 0 0.333333 -0.010000 0.333333 0.333333 0 0 0.333333 0.000000 0.666667 0.333333 0 0 0.333333 0.333333 0.676667 0.333333 0 0 0.333333 0.676667 0.333333 0.333333 0 0 0.333333 0.666667 0.666667 0.174 0.174 -0.174 0.174 0.326 0.5

0.75 0.00 0.00 0.30 -0.20 0.00 0.75 0.00 0.00 0.30 0.20 0.00 0.50 0.00 0.00 0.80 0.00 0.20

0.195 -0.488 0.344 0.443 0.722 0.536 0.462 0.414 -0.252 0.361 0.538 1.167 -0.058 -0.070 0.453 -0.111 1.125 0.185 -0.045 0.091 -0.469 -0.022 0.863 0.871

.195 -.488 .344 .443 .4431 .2452 .462 .414 -.252 .361 .2511 .5692 -.058 -.070 .453 -.111 .5976 .0969 -.035 .070 -.469 -.022 .4884 .5069 -.637 0 0 .501 .8562 .2513

0.000 0.000 0.000 0.600 0.00 -0.065 0.440 0.000 0.000 0.550 0.00 0.200 0.343 -0.248 0.199 0.429 -0.03 0.100 0.343 0.248 -0.199 0.429 0.03 0.100 0.280 -0.350 0.280 0.350 -0.05 0.000 0.280 0.350 -0.280 0.350 0.05 0.000

0.125 0.433013 -0.216506 0.25 0 0.666667 0.125 -0.433013 0.216506 0.25 0 0.666667 0 0 0 0.666667 0 0

0.0500 0.0000 0.0000 0.4000 -0.0600 -0.4700 -0.0500 0.0000 0.0000 -0.4000 -0.0600 -0.4700 0.0300 -0.1400 0.0000 0.2600 -0.1600 -0.0100 -0.0300 0.1400 0.0000 -0.2600 -0.1600 -0.0100 0.5600 0.4400 -0.3700 0.5100 0.3000 0.1500 0.1900 0.0700 -0.1000 0.1500 -0.2000 0.2800 -0.3300 -0.3400 -0.3300 0.3400 -0.5400 0.3900

0.0100 0.0000 0.0000 0.4500 0.0000 0.0000 -0.0100 0.0000 0.0000 -0.4500 0.0000 0.4000 0.4200 -0.4200 0.4200 0.4200 0.0000 0.4000 0.4200 0.4200 -0.4200 0.4200 0.0000 0.4000

0.0500 0.0000 0.0000 0.6000 0.0000 0.0000 0.0500 0.0000 0.0000 -0.5000 0.0000 1.0000 0.4597 -0.3213 0.3773 0.3831 0.0000 0.6000 0.4699 -0.1540 0.1710 0.4228 0.0000 1.1000 0.4329 0.2502 -0.2752 0.4762 0.0000 1.0000 0.4214 0.2571 -0.3535 0.3065 0.0000 0.7000

-0.467 0.02 -0.113 0.015 0.4 0.4 0.387 .43 .43 -0.387 0.256 .522 0.441 -0.091 -0.091 -0.322 0.421 .505

0.125 0.433013 -0.216506 0.25 0 0.666667 0.125 -0.433013 0.216506 0.25 0 0.666667 0 0 0 0.666667 0 0

-0.468 0.02 -0.113 0.015 0.4 0.4 0.387 .43 .43 -0.387 0.256 .522 0.441 -0.091 -0.009 -0.322 0.4219 .5059

0.442552 -0.841144 0.724386 0.538723 14.919102 9.328625 -0.424242 -0.065152 -0.175758 -0.218182 3.809567 6.741476

0.5 0.5 0.0 0.5 0 0 0.5 0.0 0.0 0.5 3 0 0.4 0.0 0.0 0.4 0 2

0.475 -0.823 0.823 0.475 1.0 1.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0

0.50 0.00 0.00 0.50 0.00 0.00 0.50 0.00 0.00 0.50 0.50 0.50 0.25 0.00 0.00 0.25 0.00 0.75 0.25 0.00 0.00 0.25 0.75 0.00